Главная   >>   Современная электроэнергетика

Современная электроэнергетика

1.2. Электрические цепи: элементы, схемы, законы, классификация

Основными элементами электрических цепей являются источники электромагнитной энергии (см. § 1.1), элементы передачи (линии электропередачи, линии связи) и преобразования (трансформаторы, различные преобразователи — выпрямители, инверторы и др.) энергии, а также приемники энергии, в которых электромагнитная энергия преобразуется в энергию других видов, например в механическую (электрические двигатели), химическую (аккумуляторы), тепловую (электрические печи) и т.п.

Источники энергии принято называть активными элементами, а ту часть цепи, в которой они действуют, — активной подцепью, все остальные элементы — пассивными элементами, а часть цепи, в которой нет активных элементов, — пассивной подцепью. Сложность изучения всего многообразия реальных элементов цепей (линий электропередачи, трансформаторов, генераторов и др.) породила необходимость выделения минимального набора простейших элементов, с помощью комбинаций которых можно описывать эти реальные элементы. К таким элементам относят источники энергии: источник ЭДС (схемное обозначение представлено на рис. 1.6, а), источник тока (рис. 1.6, б), резистор (рис. 1.6, в), конденсатор (рис. 1.6, г) и индуктивная катушка (рис. 1.6, д).

Для источника ЭДС (рис. 1.6, а) характерным является равенство напряжения между его выводами значению электродвижущей силы:

для источника тока (рис. 1.6, б) — численное равенство тока i элемента значению тока J источника

для резистора (рис. 1.6, в) — линейная связь напряжения и тока:

для конденсатора (рис. 1.6, г) — линейная связь тока элемента с производной напряжения:

для катушки (рис. 1.6, д) — линейная связь напряжения с производной тока:

При этом уравнения (1.1)—(1.5) называют компонентными уравнениями рассматриваемых элементов, параметры R(G), С и L этих элементов — соответственно сопротивлением (проводимостью) резистора, емкостью конденсатора и индуктивностью катушки, а значения тока i(t), напряжения u(t) и ЭДС e(t) в момент времени t соответственно мгновенными значениями i, u, e.

Выражение (1.3) носит название закона Ома, а произведение мгновенных значений напряжения и тока p = ui, называемое мгновенной мощностью, для резистора равно р = ui = Ri2 (закон Джоуля—Ленца). Мощность в данном случае определяет количество теплоты, выделяемое резистором в единицу времени. Таким образом, резистор (резистивный элемент) — это элемент, предназначенный для использования его электрического сопротивления. Единицей сопротивления является ом — 1 Ом = 1 В/1 А (проводимости — сименс — 1 См = 1 А/1 В), мгновенной мощности — ватт — 1 Вт = 1 В · 1 А.

Сопротивлением R можно охарактеризовать любой проводник длиной l и сечением S (рис. 1.7), причем если ток распределен по сечению проводника равномерно, то , где r — удельное электрическое сопротивление, характеризующее свойства материала проводника. Единицей удельного электрического сопротивления является ом х метр (Ом · м). Поэтому в схеме замещения (см. ниже) электрической цепи резистивные элементы отражают не только собственно резисторы, но и сопротивления проводов линий электропередач, сопротивления проводников, из которых выполнены обмотки трансформаторов, электрических машин и т.п.

Конденсатор (емкостной элемент) запасает энергию электрического поля Wэ = Cu2/2, его мгновенная мощность  — характеризует скорость изменения этой энергии во времени. Конденсатор выполняется в виде двух металлических пластин, разделенных слоем диэлектрика (рис. 1.8). Собственно емкость, для использования которой и предназначен этот элемент, представляет собой отношение двух равных по значению, но противоположных по знаку зарядов пластин, разнесенных в пространстве (рис. 1.8), к напряжению этого элемента С = q/u. Единицей емкости является фарад — 1 Ф = 1 Кл/1 В. Емкостью обладает не только конденсатор, но и пары проводов электропередач, емкостью характеризуется связь каждого из этих проводов с землей и т.д. При составлении схемы замещения реальной цепи необходимо отражать подобные связи емкостными элементами, входящими в схему наравне с конденсаторами.

Катушка индуктивности (индуктивный элемент) запасает энергию магнитного поля Wм = Li2/2, ее мгновенная мощность  характеризует скорость изменения этой энергии во времени. Конструктивно такой элемент часто выполняется из проводника в виде спирали (рис. 1.9).

Ток i в этом случае создает магнитное поле, направление индукции В которого показано линиями со стрелками. Интегрально его можно охарактеризовать для каждого витка потоком  через поверхность S. Произведение этого потока на число витков w катушки называют потокосцеплением Y = Фw. Индуктивность характеризует связь между этим потокосцеплением и вызывающим его током Y = Li. Единицей магнитного потока является тесла — 1 Тл = 1 Вб · 1 м2, индуктивности — генри — 1 Гн = 1 Тл/1 А. Таким образом, индуктивная катушка — это элемент цепи, предназначенный для использования его индуктивности. Индуктивностью помимо собственно катушек обладают и другие элементы реальных электрических цепей, в частности провода линий электропередач, что необходимо отражать в схемах замещения соответствующих цепей.

Таким образом, любая часть реальной электрической цепи обладает всеми перечисленными параметрами — R, L, С, а названные выше — резистор, конденсатор, катушка — суть элементы, в которых соответственно сопротивление, емкость и индуктивность являются основными параметрами, другими же параметрами обычно пренебрегают.

Электрическую цепь удобно изображать в виде чертежа, называемого схемой электрической цепи. Такая схема составляется из условных обозначений элементов цепи (см. рис. 1.6) и показывает их соединение. При этом последовательность элементов, имеющих один и тот же ток, называют ветвью, место соединения ветвей — узлом, замкнутый путь, проходящий по нескольким элементам, называют контуром. Для любого узла справедлив первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, соединенных с данным узлом, равна нулю: Si = 0.

Для любого контура справедлив второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах любого замкнутого контура равна нулю: Su = 0.

Если число ветвей цепи равно В, узлов У, то число независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно У – 1, по второму — В – У + 1 . Дополнив В уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа (У – 1 + В – У + 1 = В), компонентными уравнениями элементов цепи, можно получить полную систему ее уравнений, позволяющую решить задачу анализа: по заданной схеме и значениям параметров элементов рассчитать неизвестные токи и напряжения ветвей цепи.

Пример 1.1. Для цепи, изображенной на рис. 1.10, имеем: число узлов равно двум, число ветвей — трем, число элементов — четырем. Тогда согласно первому закону Кирхгофа имеем

согласно второму закону Кирхгофа:

Компонентные уравнения имеют вид

Полная система уравнений электрической цепи (1.6)—(1.8) позволяет по известным параметрам е = e(t), R, L, С найти все токи и напряжения активного (источник ЭДС) и трех пассивных (резистор, катушка индуктивности, конденсатор) элементов цепи, т.е. решить задачу анализа цепи при условии, что заданы также начальные значения (т.е. значения переменных в момент времени, равный нулю) тока катушки i2(0) = i02 и напряжения конденсатора u3(0) = u03, которые необходимы для решения алгебродифференциальных уравнений (1.6)—(1.8).

В общем случае для решения задачи анализа сложной электрической цепи (т.е. задачи определения всех неизвестных токов и напряжений ее элементов при известной схеме и параметрах — сопротивлениях, емкостях, индуктивностях, ЭДС и токах источников тока) полную систему уравнений составляют редко.

Более эффективными оказываются иные подходы, основанные, например, на различных преобразованиях схем (см. ниже) или использовании более простых — канонических уравнений, связывающих лишь часть из неизвестных переменных. Такие канонические уравнения оказывается возможным составлять относительно переменных, определяющих энергетическое состояние цепи, т.е. запасы ее электрической и магнитной энергии. Поэтому подобные канонические уравнения называют уравнениями состояния электрической цепи, а переменные, относительно которых они составляются, — переменными состояния. Из сказанного следует, что переменными состояния для электрических цепей являются токи индуктивных элементов, определяющих запас магнитной энергии, и напряжения емкостных элементов, определяющих запас электрической энергии.

Пример 1.2. Выразив ток i3 из уравнения (1.6) i3 = i1 – i2 и воспользовавшись компонентными уравнениями (1.8) u1 = Ri1, u = е, из системы уравнений (1.7) найдем

Следовательно,

Тогда из компонентных уравнений (1.8 уравнения u2 = u3 (1.7) и полученного уравнения для i3 находим уравнения состояния электрической цепи, изображенной на рис. 1.10:

Полученная в примере 1.2 каноническая форма дифференциального уравнения удобна для аналитического либо численного (с помощью стандартных пакетов программ интегрирования дифференциальных уравнений) решения. Под решением здесь понимаются определенные зависимости тока индуктивного элемента i2 = i2(t) и напряжения емкостного элемента u3(t) от времени. Располагая такими зависимостями и уравнениями (1.6), (1.8), аналогичные зависимости от времени для остальных переменных i1(t), i3(t), u1(t), u2(t) находят уже с помощью одних алгебраических операций.

Для электрической цепи закон сохранения энергии записывается в виде равенства суммы генерируемых источниками мгновенных мощностей сумме мгновенных мощностей остальных элементов  Это выражение, представляющее собой запись теоремы Телледжена, показывает, что энергия источников расходуется на теплоту, выделяемую резисторами, и перераспределение запасов электрической и магнитной энергии, запасенных конденсаторами и катушками. В этой связи говорят о балансе мгновенных мощностей цепи.

Пример 1.3. Согласно теореме Телледжена для схемы рис. 1.10 имеем ei1 = u1i1 + u2i2 + u3i3, где е = u.

Электрические цепи принято классифицировать по типу параметров элементов и типу электромагнитных процессов в них. Так, говорят о линейных цепях, если параметры элементов е = e(t), J = J(t), R, L, С не зависят от интенсивностей электромагнитных процессов (т.е. от токов и напряжений этих элементов). Подобные цепи описываются линейными системами уравнений, решение которых может быть достигнуто с использованием принципа суперпозиции (наложения), когда можно рассматривать вклад параметра е или J каждого источника энергии в решение независимо от вклада в него других источников. Линейные цепи называют стационарными, если параметры R, L, С их элементов — константы, и параметрическими, если эти параметры известные функции времени R = R(t), L = L(t), С = C(t). Если же параметры е, J, R, L, С зависят от интенсивности процессов, то сами элементы и цепи, их содержащие, называют нелинейными элементами и цепями. Уравнения таких цепей нелинейны, и поиск их решения с гарантированной точностью представляет собой весьма сложную задачу. Различают также элементы и цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами. О сосредоточенных параметрах R, L, С говорят в том случае, когда они сосредоточены (локализованы) на определенном участке. Если же приходится учитывать геометрическую протяженность этого участка, то эти параметры считаются распределенными. Параметры R, L, С в этом случае характеризуют единицами Ом/м, Гн/м, Ф/м. Цепи с распределенными параметрами описываются уравнениями в частных производных, решение которых весьма трудоемко. Следует отметить, что допущение о линейности и сосредоточенности параметров справедливо лишь для определенных диапазонов интенсивностей процессов, т.е. является условным, и в этом смысле говорят о границах абстракций в теории электрических цепей. По типу электромагнитных процессов цепи подразделяют на цепи постоянных токов (если токи и напряжения всех элементов цепей не изменяются во времени), цепи переменных токов (если токи и напряжения всех элементов цепей изменяются во времени) и, в частности, цепи синусоидальных токов (если эти токи и напряжения цепей изменяются во времени по синусоидальным законам).

Следует заметить, что в частных случаях, когда процессы в цепях описываются функциями одного вида, например постоянными или синусоидальными функциями, расчет цепей резко упрощается. Существует масса приемов и методов расчета таких цепей. Ознакомимся с некоторыми из них. Но прежде всего обратим внимание на то, что в схемах замещения цепей постоянных токов отсутствуют емкостные и индуктивные элементы. В самом деле, из допущения о постоянстве тока из компонентного уравнения (1.5) индуктивного элемента (см. рис. 1.6, д) следует, что напряжение его будет равным нулю, т.е. сам индуктивный элемент в схеме замещения цепи на постоянном токе представляет собой идеальный проводник с нулевым сопротивлением — так называемую «закоротку». Из допущения о постоянстве напряжения для емкостного элемента (см. рис. 1.6, г) из компонентного уравнения (1.4) следует, что его ток в этом случае будет равен нулю, а сам емкостной элемент представляет собой «разрыв» ветви цепи. Полученная резистивная цепь описывается уже не дифференциальными, а чисто алгебраическими уравнениями, решение которых не представляет особой сложности.

Пример 1.4. Схема рис. 1.10 для случая, когда ЭДС источника e(t), токи i1(t), i2(t), i3(t) и напряжения u1(t), u2(t), u3(t) постоянны, т.е. е = Е, i1 = I1, i2 = I2, i3 = I3, u1 = U1, u2 = U2, u3 = U3, может быть представлена в виде рис. 1.11. При этом I3 = 0, U2 = 0, а токи I1 = I2 и напряжение U3 находятся из уравнений второго закона Кирхгофа U1 + U2 = Е, U3 = U2, где U1 = I1R. Окончательно имеем I1 = I2 = E/R.

При расчетах резистивных цепей можно пользоваться следующими преобразованиями, основанными на использовании компонентных уравнений и уравнений Кирхгофа:

последовательно соединенные резисторы с сопротивлениями R1 и R2 (рис. 1.12, а) можно заменить одним эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением Rэ = R1 + R2 (рис. 1.12, б), не изменив при этом общего тока I и на пряжения U ветви;

параллельно соединенные резисторы с проводимостями G1 = l/R1 и G2 = l/R2 (рис. 1.13, а) можно заменить одним эквивалентным резистивным элементом с проводимостью Gэ = G1 + G2 (с сопротивлением  (рис. 1.13, 6), не изменив при этом общего тока I и напряжения U рассматриваемого участка цепи;

источник ЭДС Е с внутренним сопротивлением Rвн (рис. 1.14, а) можно заменить источником тока J с внутренней проводимостью Gвн (рис. 1.14, б) при условии J = E/Rвн, Gвн = 1/Rвн; аналогично источник тока J с внутренней проводимостью Gвн (рис. 1.14, б) можно заменить источником ЭДС Е = J/Gвн с внутренним сопротивлением Rвн = 1/Gвн (рис. 1.14, а), не изменив при этом общего тока I и напряжения U рассматриваемого участка цепи.

Используя подобные методы преобразования схемы цепи, можно существенно упростить ее схему и соответственно расчет токов и напряжений. Наряду с подобными методами преобразования при расчете цепей постоянных токов или в более общем случае любых чисто резистивных цепей используют и специальные методы упрощения их схем. Наиболее известным из них является метод эквивалентного генератора. Суть его сводится к эквивалентной замене любого активного (т.е. содержащего источники энергии) двухполюсника А (т.е. подцепи, присоединенной к остальной части цепи двумя узлами) (рис. 1.15, а) источником ЭДС Ег, называемой ЭДС эквивалентного генератора с последовательно включенным внутренним сопротивлением Rг (рис. 1.15, 6). При этом значение Ег равно напряжению так называемого «холостого хода», т.е. напряжению U на разомкнутых зажимах двухполюсника. Это напряжение можно непосредственно измерить, если цепь существует в виде реального устройства, или рассчитать, если она задана в виде схемы с известными параметрами. Внутреннее сопротивление такого генератора определяется как сопротивление двухполюсника А с замкнутыми источниками ЭДС и разорванными ветвями с источниками тока.

Пример 1.5. Определим параметры эквивалентного генератора активного двухполюсника (рис. 1.16, а). «Закоротив» источник ЭДС Е1 и «разорвав» ветвь с источником тока J2, получим схему рис. 1.16, б, эквивалентное сопротивление которой R1 + 1/G2 как раз и будет равно внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора, т.е. Rг = R1 + 1/G2. Для определения ЭДС этого генератора заменим источник тока J2 с проводимостью G2 эквивалентной ЭДС Е2 = J2/G2 с сопротивлением R2 = 1/G2 (см. выше). Напряжение холостого хода (I = 0) для полученной схемы (рис. 1.16, в) будет, очевидно, равно U = E1 – E2. Таким образом схему, изображенную на рис. 1.16, а, можно заменить эквивалентным генератором, изображенным на рис. 1.15, б, с параметрами Ег = E1 – J2/G2, Rг = R1 + 1/G2. Заменяя отдельные подцепи, соединенные с остальной частью цепи только двумя узлами, подобными эквивалентными генераторами, можно существенно упростить расчет цепи.

В общем случае методика расчета сложной электрической цепи, основанная на замене ее отдельных подцепей более простыми подцепями (типа эквивалентных генераторов для двухполюсников), называется диакоптикой электрических цепей. Введенная в теорию электрических цепей Г. Кроном диакоптика является в настоящее время одной из наиболее востребованных практикой методикой их расчета.