ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ
Главная   >>   Электромагнитная совместимость в электроэнергетике

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

1.5.3. Представление непериодических функций времени в час-тотной области. Интеграл Фурье.

Ряд Фурье допускает представление в частотной области толь­ко периодических функций времени. Однако часто имеют дело с непериодическими функциями, характерными, например, для коммутационных процессов, молнии или разрядов статического электричества и т. д.

При определении спектра непериодической импульсной функции выполним предельный переход, воспользовавшись   комплексной формой записи   ряда Фурье для периодических функций (пределы интегрирования –Т/2 и +Т/2):

Так как в линейчатом спектре ряда Фурье расстояние между спектральными линиями соответствует

Можно также записать

Далее выполняется предельный переход при T→∞  и Δω→0. При этом конечное расстояние между спект­ральными линиями Δω за знаком суммы переходит в бесконечно малое расстояние , дискретная переменная в непре­рывную переменную , а сумма – в интеграл. Таким образом, получают интеграл Фурье для непериодической функции:

где -  представляет собой преобразование Фурье   функции   называемое спектральной плотностью    носит название плотности распределения амплитуд. Для непериодической функции  обратное преобразование Фурье имеет вид:

Следовательно, преобразование Фурье и его обращение взаимообратны с точностью до множителя 1/2π .

Название «спектральная плотность» происходит от того, что спектральная функция идентична линейчатому спектру , отнесенному к расстоянию между соседними частотами. Так как T=1/Δƒ=2п/Δω , получаем

Если отнести амплитуды Cn к Δƒ и образовать предельное значение для T→∞ (соответственно Δƒ→0), получим

иначе говоря, спектральную плотность.

Если, например, линейчатый спектр измеряется в вольтах, то спектральная плотность X(ω) сравнимого однократного про­цесса имеет размерность В/Гц.

Очевидно, непериодические процессы тоже могут быть пред­ставлены как наложение синусоидальных или косинусоидальных колебаний. Однако в отличие от периодических процессов здесь участвуют все частоты от -∞  до +∞ с амплитудами X(ω)dƒ .Так как при однократных процессах содержащаяся в одном импульсе конечная энергия распределяется на бесконечное множество ча­стот, то амплитуда отдельной спектральной составляющей долж­на быть бесконечно малой. Чтобы избежать этой неопределенно­сти, относят энергию импульса к частоте и получают, таким обра­зом, спектральную плотность, предельное значение которой при Δƒ→0 остается конечным и как раз соответствует преобразова­нию Фурье.