Главная   >>   Электромагнитная совместимость в электроэнергетике

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

1.5.2. Представление периодических функций времени в час-тотной области. Ряд Фурье.

Синусоидальные или косинусоидальные помехи (гармонические процессы) могут быть представлены как во временной, так и в частотной областях непосредственно (рис. 1.7.). В частотной области помеха характеризуется угловой частотой
ω и частотой колебаний f = ω/2π .

Несинусоидальные периодические функции - например, пи­лообразной или прямоугольной формы импульсы напряжения или тока выпрямителей которые, в некоторых случаях, возможно описать аналитически, - могут быть представлены в частотной области   как бесконечная сумма сину­соидальных и косинусоидальных колебаний, т. e. рядом Фурье.

Например, можно представить себе несимметричное напряже­ние прямоугольной формы возникшим как наложение основно­го колебания и основной частоты ƒ1=1/T и бесконечно многих гармонических колебаний иv с частотами vƒ1. Зависимость амплитуды отдельных колебаний от частоты  представляет собой дискретный линейчатый спектр (рис. 1.8.) Наименьшая встре­чающаяся в линейчатом спектре частота - основная частота.

Частоты высших гармоник являются  значениями,  кратными этой основной частоте, например ƒ3=3ƒ1 .

Аналитически ряд Фурье любой функции времени может быть представлен в различных формах:

Нормальная:

Коэффициенты Un и Un - амплитуды отдельных колебаний. Составляющая   соответствует среднему арифметическому значению функции времени (постоянная составляющая).

Амплитудно-фазовая: Так как синусоидальные колебания c соответствующим фазо­вым сдвигом могут быть представлены и как косинусоидальные, например sin(90°±α)=cosα, вместо нормальной формы часто применяют амплитудно-фазовую форму:

Комплексная. Если дополнять вышеприведенные уравнения мнимой частью и заменить тригонометрические функции по формуле Эйлера cosx+jsinx=ejx экспоненциальными функциями, получаем уравнение в комплексной форме:

 

Так как  функция u(t) будучи представленная комплексным рядом Фурье (1.3.)  остается действительной, то в правой части вводятся отрицательные частоты (чтобы мнимые части сократились). Учет отрицательных частот приводит к двустороннему спектру (рис. 1.9.). Идентичные вещественные части обоих слагаемых в (1.3.) за знаком суммы (для положительных и отрицательных частот ±nw1) образуют физически измеримую амплитуду , причем

При анализе ЭМС вместо двустороннего математического спектра Cn=ƒ(±nw1) чаще всего рассчитывают односторонний «физический» спектр 2|Cn|=ƒ(±nw1)  только для положительных n, амплитуды которого отличаются на коэффициент 2 от амплитуд двустороннего спектра. Значения амплитуд одностороннего спек­тра измеримы, они совпадают со значениями коэффициентов косинусоидальной формы, т.е. соответствуют значительным час­тям векторов переменного напряжения той же частоты.

В заключение на рис. 1.10. показаны импульсы прямоугольной  формы двух периодически изменяющихся напряжений одной и той же основной частоты, однако различной скважности, и отно­сящиеся к ним линейчатые спектры. Из вышесказанного можно установить следующее: наименьшая частота ƒ1 является основной частотой. Ее значе­ние связано со значением периода Т: ƒ1=1/T

Амплитуды высших гармоник появляются с одинаковым ин­тервалом Δƒ=ƒ1=1/T  их частоты кратны основной частоте

Ряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов имеет вид:

Коэффициенты (спектральные амплитуды) (без постоянной составляющей) определяются формулой:

Огибающая спектральных амплитуд следует функции Si=sin(x)/x . Первое значение нуля этой функции соответствует обратной величине длительности импульса

Другие нулевые значения следуют с интервалом nƒ1Si=0 . На практике нулевые значения появляются не столь явно вы­раженными, как на рис. 1.10, так как из-за неизбежных асиммет­рий (например, экспоненциальных нарастаний и спада прямоу­гольных импульсов) они сглаживаются.

Постоянный коэффициент при функции Si(x)  равный 2Umт/Т при неизменном периоде пропорционален   пло­щади импульса Umт . Таким образом, высокие узкие импульсы при низких частотах могут иметь такой же спектр, как низкие широкие. Поэтому в вышеприведенном примере спектральные амплитуды из-за меньшей на 50% площади импульсов имеют только половинное значение.

Огибающая амплитуд функции Si(x) есть функция 1/x Для прямоугольных импульсов с бесконечно большой длительностью периода Т спектральные линии и максимумы функции Si(x) бес­конечно сближаются. Получается известный спектр 1/ƒ  ступен­чатой функции.

Подобным образом можно рассмотреть и другие формы им­пульсов с другими огибающими, например, треугольные импуль­сы, огибающая которых выражается функцией Si2(x)